Alaeddine Ben Rhouma

Autour de la decomposition de Dunford Alaeddine Ben Rhouma

Cours d'algèbre linéaire sur la réduction des endomorphismes avec une présentation assez exhaustive de la décomposition de Dunford. On se limitera au cas où le corps de base est R ou C, et l'objectif de cette présentation est de faire un état des lieux sur les diverses méthodes de décomposition de Dunford. Lorsque les valeurs propres sont connues avec leurs valeurs exactes, une décomposition en éléments simples de l'inverse d'un polynôme annulateur nous fournit les projecteurs spectraux et a fortiori la décomposition attendue. Le cas le plus délicat se présente dès que le spectre de l'endomorphisme n'est pas à notre disposition ce qui est une situation courante lorsque la dimension de l'espace vectoriel est supérieure à 4. La méthode de Newton-Raphson vient alors à la rescousse pour nous fournir une suite qui converge quadratiquement vers la composante diagonalisable. Certes, cette méthode très en vogue est assez efficace quelle que soit la taille de la matrice étudiée, mais elle nous laisse sur notre faim. En effet, on sait que les composantes de Dunford sont des polynômes en la matrice et on souhaiterait connaître ces polynômes générateurs. La bonne nouvelle, c'est qu'une méthode effective utilisant le lemme chinois existe et elle a été introduite par Chevalley dans les années cinquantes du siècle dernier. Je mettrai l'accent sur cette méthode qui a été évoquée dans un article de Danielle Couty, Jean Esterle et Rachid Zarouf, en détaillant la preuve de l'algorithme dans le cas où le polynôme caractéristique est scindé sur le corps de base, puis je détaillerai le cas réel qui est une situation plus subtile nécéssitant une étude plus poussée. Un rappel sur les endomorphismes semi-simples a été introduit afin de justifier l'importance de la recherche d'une méthode effective permettant de tester la diagonalisabilité des matrices réelles lorsqu'on ne dispose pas des valeurs propres de l'endomorphisme étudié. Pour y parvenir j'ai proposé les suites de Sturm comme outil de vérification de diagonalisabilité dans R.